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Exame GDA - 708 2ª Fase

Proposta de resolução:

Exercício 01
Exercício 02
Exercício 03
Exercício 04

 
Exame 1ª Fase - 708 - Geometria Descritiva - 2014

Proposta de resolução 

Exercício 01

Exercício 02

Exercício 03

Exercício 04 

 

 

 
Previsões para o exame 2014 - 1ª Fase

Exercício 01

Aposta: Perpendicularidade entre rectas

Exercício 02

Aposta: Figura Plana Rampa ou Passante

Exercício 03

Aposta: Sombra de um prisma oblíquo

Exercício 04

Aposta: Clinogonal Militar

 
Aulas de Apoio de Preparação Exame (Bloco II)
A próxima aula de preparação para o exame nacional é no dia 12 de Junho (quinta-feira) às 9:00h na sala 9.
 
Exercício Bloco I (Intersecções)

1. Exame de 1998 - 1ª Fase, 2ª Chamada

Determine o ponto de intersecção I da recta horizontal n com o plano oblíquo alfa.
- a recta n contém o ponto P (5; 5; 3) e faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projecção;
- o plano oblíquo alfa contém o ponto X do eixo x, com abcissa -5, e uma recta frontal (de frente) f, que passa pelo ponto S (-4; 2; 3) e que faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projecção.

2. Exame de 2000 1ª Fase - 1ª Chamada

Determine o ponto de intersecção I da recta vertical v com o plano de rampa ró.

- a recta v contém o ponto P (2; -2; 7);
- o plano de rampa ró é definido pelo ponto A (-2; 2; 3) e pelo seu traço horizontal, que tem 4 de afastamento

3. Exame de 1997 1ª Fase - 1ª Chamada

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta r com o plano oblíquo alfa.

- a recta r é uma recta oblíqua passante, que contém o ponto A (-2; 6; 9) e o ponto B, do eixo x, com 4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano alfa faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x, e intersecta-o num ponto X, com abcissa -4;
- o plano alfa contém um ponto P, do Plano Frontal de Projecção, com 2 de abcissa e 9 de cota.

4. Exame de 1999 1ª Fase - 1ª Chamada

Determine o ponto de intersecção I da recta de topo t com o plano oblíquo alfa.

- a recta t contém o ponto P, com 6 de abcissa e 6 de afastamento, pertencente ao Bissector dos Diedros Ímpares;
- o traço frontal do plano oblíquo alfa faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, de abertura à esquerda, intersectando-o num ponto X, com 4 de abcissa;
- o plano oblíquo alfa contém o ponto A (- 4; 3; 2).

5. Exame de 2001 1ª Fase - 2ª Chamada

Determine o ponto de intersecção I da recta oblíqua r com o plano oblíquo alfa.

- a recta r intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto F (-2; 0; 5);
- as projecções da recta r fazem ambas, com o eixo x, ângulos de 30º, a projecção horizontal com abertura para a direita, e a projecção frontal com abertura para a esquerda;
- o plano oblíquo alfa está definido pelos seus traços nos planos de projecção e intersecta o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- o traço horizontal do plano faz, com o eixo x, um ângulo de 30º, com abertura para a direita, e o traço frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 55º, com abertura para a esquerda.

6. Exame de 2002 Prova Modelo

Determine o ponto de intersecção I da recta frontal f com o plano de rampa ró.

- a recta f contem o ponto P (2; 4; 6) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano horizontal de projecção;
- o traço frontal do plano de rampa ró tem 3 de cota;
- o plano contém um ponto A, pertencente ao bissector dos diedros pares, que tem 6 de abcissa e 6 de cota.

7. Exame de 2002 1ª Fase – 1ª Chamada (programa em vigor até 2003)

Determine o ponto de intersecção I da recta obliqua r com o plano de rampa pi.

- a recta oblíqua r contém o ponto A (4; 4; 2) e intersecta o Plano Frontal de Projecção num ponto F, com abcissa nula, e as suas projecções são paralelas;
- o plano de rampa pi contem o ponto H (2; -9; 0) e tem os traços coincidentes.

8. Exame de 2002 1ª Fase – 2ª Chamada (programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine o ponto de intersecção I da recta de nível n com o plano oblíquo alfa

- a recta n é definida pelos pontos A (0; 4; 3) e B, com 4 de abcissa e 5 de afastamento;
- o plano alfa é definido pela recta de maior declive d;
- a recta d é definida pelos pontos H e F, que são os seus traços nos planos de projecção;
- o ponto H tem 0 de abcissa e 6 de afastamento;
- o ponto F tem 5 de abcissa e 5 de cota.

9. Exame de 2003 1ª Fase – 2ª Chamada (programa em vigor de 2002 a 2006)

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta h com o plano de rampa teta

- a recta h é horizontal, contem o ponto A (2; 1; 3) e faz um Ângulo de 30º com o plano frontal de projecção, de abertura para a esquerda, no 1º diedro;
- o plano teta contem o ponto P (7; 3; 2), e o seu traço frontal tem 5 de cota

10. Exame de 2003 2ª Fase (programa em vigor até 2003)

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta v com o plano de rampa teta.
                            
- a recta v é vertical e contém o ponto A (2; 3; 1);
- o plano teta contém um ponto P (-2; 2; 4) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento.

11. Exame de 2004 - 2ª Fase

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta frontal f com o plano oblíquo beta.

- o plano beta é definido pela recta frontal a e pelo ponto B (0; 1; 6)
- a recta a contém o ponto H (3; 3; 0) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a direita;
- a recta f contém o ponto P (-4; 4; 2) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º com o eixo x, de abertura para a esquerda.

12. Exame de 2005 1ª Fase

Determine as projecções do ponto I de intersecção do plano obliquo beta com a recta t

- o plano contém o ponto P (0; 3; 6) e a recta h, definida pelos pontos M (4; 3; 2) e N (-1; 6; 2);
- a recta t é de topo, tem -3 de abcissa e 4 de cota.

13. Exame de 2005 – 2ª Fase

Determine as projecções do ponto I de intersecção da recta obliqua r com o plano obliquo beta.

- a recta r é definida pelos pontos R (3; 8; 1) e S (0; 5; 4);
- os traços do plano beta intersectam o eixo x num ponto com -2 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 50º com o referido eixo (o traço horizontal com abertura para a direita, e o traço frontal com abertura para a esquerda).

14. Exame de 2006 2ª fase

Determine as projecções do ponto I, de intersecção da recta obliqua r com o plano de rampa teta.

- a recta r é definida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);
- os traços horizontal e frontal do plano de rampa teta têm, respectivamente, 6 de afastamento e 7 de cota

15. Exame de 2007 - 1ª Fase (Código 708)

Determine o ponto de intersecção I, da recta horizontal n com o plano de rampa ró.
- o plano ró é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela recta a;
- a recta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
- a recta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projecção.

16. Exame de 2008 1ª fase (Código 708):

Determine as projecções do ponto de intersecção, I, da recta de perfil r com o plano de rampa ró.

- o plano ró tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
- a recta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4).

17. Exame de 2011 1ª fase (Código 708)

Determine as projecções do ponto I, traço da recta b no plano bissector dos diedros pares.
- a recta b é paralela ao plano delta
- a recta b contém P (-7; 7; -2)
- a projecção horizontal da recta b faz um ângulo de 45º de abertura para a direita com o eixo x
- o plano delta está definido pelos pontos R (3; 6; 3), S (0; 6; 5) e T (-3; 1; 5)

18. Exame de 2013 1ª fase (Código 708)

Determine as projeções do ponto I resultante da intersecção da reta de topo t com o plano oblíquo δ.

− a reta t tem –5 de abcissa e 5 de cota;
− o plano δ está definido por duas retas paralelas, a e b;
− a reta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
− a projeção frontal da reta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
− a reta b contém o ponto N (6; 4; –1).

 
Desafio da semana

1. Exame de 2006 - 2ª Fase (código 708)
Represente, pelas suas projecções, a recta p, perpendicular ao plano alfa.
- o plano oblíquo alfa é definido pelos pontos A (5; -6; 6) , B (0; 1,5; 3) e C (-5; 5; 3)
- a recta p contém o ponto Q (-7; 5; 10)

 

2. Exame de 2007 - 2ª fase (código 708)
Determine os traços do plano beta, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano alfa.
- o plano alfa contém o ponto A (3; 6; 4) e uma recta horizontal h
- a recta h tem 8 de cota, faz, com o Plano Frontal de Projecção, um ângulo de 50º com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.
- o plano beta contém os pontos P (0; 2; 4) e R (-5; 0; 0)

 

3. Exame de 2010 - 1ª fase (código 708)
Determine as projecções da recta s perpendicular à recta r.
– a recta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F com 7 de abcissa e 2 de cota;
– a recta s, concorrente com a recta r, contém o ponto P (0; 5; 2).

 

4. Exame de 2012 - 1ª fase (código 708)
Determine os traços do plano de rampa δ ortogonal ao plano θ.
− o plano θ contém o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
− o traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
− o plano δ contém o ponto P (–6; 7; 5).

 

5. Exame de 2013 - 2ª fase (código 708)
Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.
− a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;
− a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.

 
Distâncias - problemas métricos

No actual programa de Geometria Descritiva ós há dois tipos base de raciocínio sobre Distâncias:
Ponto / Recta e Ponto / Plano .
Todos os raciocínios sobre Distâncias implicam noções de Perpendicularidades.
A Distância entre dois elementos base (ponto/recta/plano) é representada pelo menor segmento de recta possível entre eles, sendo, portanto, ortogonal ao(s) mesmo(s).
Na maioria dos casos o exercício deve terminar com a colocação do segmento em VG (verdadeira grandeza) efectuando uma Rotação (rebatimento) ou uma Mudança de Diedros. Isso não é necessário nos casos em que o segmento final já se encontra Horizontal ou Frontal

 

Ponto / Recta 1 (recta horizontal ou frontal)
1. Representar uma recta contendo o ponto e perpendicular à recta inicial.
(Neste nível base, considerando apenas distâncias a rectas paralelas a um dos planos de projecção, basta que a perpendicularidade entre elas se verifique nessa projecção).
2. A Distância é representada pelo segmento entre o PONTO inicial e o ponto de CONCORRÊNCIA das rectas (inicial com a perpendicular).

 

Ponto / Plano
1. Representar uma recta "p" contendo o ponto e perpendicular ao plano.
2. Intersectar essa recta "p" com o plano.
3. A Distância é representada pelo segmento entre o PONTO inicial e o ponto de intersecção determinado.

 

Ponto / Recta 2 (recta oblíqua)
Este segundo nível é mais complexo já que nas rectas oblíquas a perpendicularidade não é directa.
1. Representar um plano auxiliar que contém o ponto e é perpendicular à recta fornecida.
(para a determinação desse plano deve consultar Perpendicularidade Recta / Plano)
Neste caso deve representar duas rectas, uma horizontal e outra frontal, ortogonais à recta fornecida em que, pelo menos uma delas contenha o ponto dado. O plano definidos por essas duas rectas será perpendicular à recta inicial.
2. Determinar o ponto "I" de intersecção Recta/Plano
3. A Distância é representada pelo segmento entre o PONTO inicial e o ponto de intersecção "I" determinado.

 
Perpendicularidades

 

Em geometria, perpendicularidade (ou ortogonalidade) é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou planos) fazem um ângulo de 90º.

Uma recta r e um plano alfa são perpendiculares entre si, se a recta r for perpendicular a qualquer recta de alfa que seja concorrente com esta. Isto significa, ainda, que uma recta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas rectas desse plano.

Podemos verificar isto em muitas situações do dia-a-dia. Experimenta verificar uma mesa do café. Que aconteceria se o pé da mesa não fosse perpendicular a ambas as barras da base?. A mesa iria estar na vertical?

 

Dois planos P e Q são perpendiculares se um deles contém uma recta que é perpendicular ao outro plano.

 

 

Deste modo podemos deduzir (considerando que os traços do plano são rectas horizontais sem cota e frontais sem afastamento) que uma recta é perpendicular a um plano se as suas projecções forem perpendiculares aos traços do plano.

 

As noções de perpendicularidade podem ter implicações em diversos conteúdos, nomeadamente em: Distâncias, Ângulos, Sólidos, etc

 

1 - Recta / Recta (casos elementares)
Uma recta é perpendicular a uma recta horizontal quando ambas se apresentam perpendiculares na projecção horizontal.
Uma recta é perpendicular a uma recta frontal quando ambas se apresentam perpendiculares na projecção frontal.
(duas rectas não concorrentes cujas direcções são "perpendiculares" dizem-se Ortogonais)

 

2 - Recta / Plano (situação mais básica de perpendicularidade)
Uma recta é perpendicular a um plano quando é perpendicular (ou ortogonal) a duas rectas (não paralelas) desse plano.
Entendendo os traços do plano como duas rectas do plano, poderemos afirmar que uma recta é perpendicular ao plano quando se apresenta perpendicular (ortogonal) aos traços desse plano, se estes não forem paralelos entre si. (no caso dos planos de rampa, os traços são paralelos entre si, portanto necessitamos de uma terceira recta)

 

3 - Plano / Plano
Dois planos são perpendiculares (ortogonais) quando um deles contém uma recta perpendicular ao outro.

 
Desafio da Semana - Bloco II
Determine os traços do plano pi, que contém o ponto P e é paralelo ao plano alfa.

−o plano alfa é definido pelas retas a e b
− a reta a contém o ponto S (3; 5; 3)
− as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita e de 30º, de abertura para a esquerda, respetivamente
− a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ãngulo de 30º de abertura para a direita
− o plano pi contém o ponto P (-6; 3; -4)
 
Desafio da Semana - BLOCO II
Determine as projeções do ponto P contido no plano oblíquo beta. 
- O plano oblíquo beta é definido por um ponto X e pela reta horizontal (de nível) n;
- O ponto X pertence ao eixo x e tem -2 de abcissa;
- A reta horizontal (de nível) n contém o ponto A (0; 4; 6) e faz, com o Plano Frontal de Projeção, um ângulo de 45º, de abertura para a direita;
- O ponto P tem 6 de afastamento e 3 de cota
 
Desafio da Semana - BLOCO I

Representa os seguintes pontos considerando que estão afastados entre si no eixo do X 1 cm. As coordenadas de cada ponto correspondem a Afastamento e Cota. 

A (-3;2) B (0;-2) C (0;0) D (4;-4) E (-1;-1 F (2;1) G (2;0) H (-3;0) I (-2;2) J (1;3 K (1;1) L (0;3) M (-3;1) N (-3;-1) O (-1;-3)
Determina e caracteriza a sua posição no espaço

 
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