Resolvemos pelo método dos planos secantes horizontais.
Exercício de grau de dificuldade fácil.

Este exercício está desvirtuado daquilo que é a norma dos exames.
Resolveu-se do seguinte método. Marcou-se a recta de perfil e a recta frontal. De seguida marcamos na recta frontal 7cm em verdadeira grandeza. Determinamos os traços do plano definido pela recta de perfil (que faz 50º com o Plano Horizontal) e a recta frontal.
Rebatemos o plano oblíquo definido por ambas as rectas e marcamos com 8cm o lad em falta. Invertemos o rebatimento para o plano e definimos as projecções.
Este exercício é de grau de dificuldade muito elevado e usa metodologia pouco convencional em exames nacionais de geometria descritiva.

Exame 2002 – 2ª fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal) de um cone de revolução, em perspectiva militar, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente a projecção da circunferência da base.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis que existam na representação axonométrica do sólido.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z;
- as projectantes fazem ângulos de 50º com o plano axonométrico.
Cone:
- a base do sólido pertence ao plano coordenado horizontal xy e tem 3 cm de raio;
- o centro da base e o ponto C, com 5 de abcissa e 5 de afastamento;
- o eixo do sólido mede 9 cm, e o vértice tem cota positiva.

Exame 2003 – 1ª fase 2ª Chamada (Código 408)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um prisma quadrangular oblíquo, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos x e z;
- as projectantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.
Prisma:
- as bases do sólido são quadrados de lados paralelos aos eixos x e y;
- a base de menor cota esta assente no plano coordenado horizontal xy;
- as arestas das bases medem 3 cm;
- O vértice A (6; 6; 0) é um dos vértices de maior afastamento da base inferior do sólido;
- O vértice G, com 3 de abcissa, 3 de afastamento e 6 de cota, é o oposto do vértice A.

Exame de 2005 – 2ª Fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica clinogonal, em perspectiva cavaleira, de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz um ângulo de 145º com o eixo axonométrico x
- as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico
Sólido:
- o quadrado horizontal [ABCD] é uma face lateral de ambos os prismas
- os pontos A (5; 5; 5) e B (0; 5; 5) definem uma aresta da base [ABE] de um dos prismas
- o vértice E fica situado acima do plano do quadrado
- os pontos A e D (5; 0; 5) definem uma aresta da base [ADG] do outro prisma
- o vértice G fica situado abaixo do plano do quadrado

Exame de 2006 2º Fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva militar, de um sólido composto por um cilindro e por um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades do sólido resultante da justaposição do cone com o cilindro.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico x faz um ângulo de 120º com o eixo axonométrico z;
- as projectantes fazem Ângulos de 60º com o plano axonom6trico.
Cone e cilindro:
- os dois sólidos têm um eixo vertical comum;
- a base do cone tem 4 cm de raio e centro no ponto C (4; 4; 11);
- o cilindro tem 2,5 cm de raio, e uma das suas bases fica situada no mesmo plano da base do cone;
- o centro da outra base do cilindro é o ponto C', que tem 18 de cota
- o vértice V do cone pertence ao plano coordenado horizontal xy

Exame de 2007 - 1ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz, respectivamente, ângulos de 150° e de 120° com os eixos axonométricos x e z;
– as projectantes fazem ângulos de 55° com o plano axonométrico.

(Imprima o documento original a partir daqui)

Exame de 2008 - 2ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido composto por dois cilindros de revolucao, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visiveis do sólido resultante.

Sistema axonometrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 145º e de 125º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
(Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)
Cilindros:
– os dois sólidos têm as bases paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o ponto O (6; 0; 4) é o centro de uma das bases de um cilindro que tem 7 cm de altura e que é tangente ao plano coordenado horizontal xy;
– o ponto O’ (6; 11; 4) é o centro de um círculo de 2 cm de raio que é a base de maior afastamento do outro cilindro que tem 4 cm de altura

Exame de 2009 - 1ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspectiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
– o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respectivamente;
– as projectantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prismas:
– os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– ambos os prismas têm 9 cm de altura.
Prisma triangular regular 1:
– os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.
Prisma triangular regular 2:
– o segmento [AA’] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
– a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– a aresta da base mede 4 cm.

Exame de 2002 Prova Modelo (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente à projecção da circunferência da base.
Represente, a traço interrompido, as linhas invisíveis.

Sistema axonométrico:
- as projecções dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
- xOz = 128º30' (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
- yOz = 103º (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Cone de revolução:
- a base pertence ao plano coordenado horizontal xy e tem 4 de raio;
- o centro é o ponto C (6; 4; 0);
- o vértice do sólido tem 8 de cota

Exame de 2002 – 1ª fase 1ª Chamada (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um prisma triangular regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- Isometria
Prisma:
- a base de menor cota [ABC] do prisma pertence ao plano coordenado xy;
- o centro dessa base é o ponto M, com 3 de abcissa e 6 de afastamento;
- o vértice A pertence ao eixo y e tem 5,5 de afastamento;
- as arestas laterais medem 7 cm.

Exame de 2003 – 1ª fase 1ª Chamada (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.
(A representação das projecções das circunferências das bases devera ser feita através da determinação rigorosa de, pelo menos, 8 pontos de cada uma das elipses.)
Determine, com rigor, os pontos de tangência das geratrizes do contorno aparente às projecções das circunferências das bases.
Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis que existam na representação axonométrica do sólido.

Sistema axonométrico:
- Isometria
Cilindro:
- a base de menor cota do sólido pertence ao plano coordenado horizontal e é tangente aos eixos x e y;
- o centro dessa base é o ponto C, que tem 3 de abcissa;
- a outra base tem 7 de cota.

Exame de 2003 – 2ª fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as suas arestas invisíveis.

Sistema axonométrico:
- as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
- xOz = 110º (Ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
- y0z = 130º (Ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Cubo:
- o sólido e tem uma face assente em cada um dos planos coordenados;
- as arestas medem 6 cm.

Exame de 2004 – 1ª Fase (Código 408)
Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por dois prismas quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades existentes no sólido resultante da justaposição dos dois sólidos.

Sistema axonométrico:
- os eixos axonométricos x e y fazem, ambos, ângulos de 110º com o eixo axonométrico z.
Sólido:
- os dois prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado horizontal xy;
- os pontos A (6; 1; 3) e B (6; 4; 3) são os vértices de maior abcissa da base inferior de um dos prismas;
- os pontos M (6; 4; 6) e N (6; 7; 6) são os vértices de maior abcissa da base superior do outro prisma;
- ambos os prismas têm 6cm de altura.

Exame de 2004 – 2ª fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional, composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados. Identifique, a traço interrompido, invisibilidades existentes no sólido.

Sistema axonométrico:
- os eixos axonométricos x e z fazem, ambos, ângulos de 105º com o eixo axonométrico y.
Sólido:
- os dois prismas tem uma face lateral assente no plano coordenado horizontal xy;
- os pontos A (0; 0; 0) e B (5; 0; 0) definem uma aresta lateral de um dos prismas;
- o ponto B e o ponto C (8; 0; 0) definem uma aresta lateral do outro prisma;
- ambos os prismas têm as faces laterais quadradas.

Exame de 2005 – 1º Fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois paralelepípedos rectângulos, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois paralelepípedos.

Sistema axonométrico:
- Isometria.
Sólido:
- a face [MNOP] de um dos paralelepípedos está contida no plano coordenado xy;
- o ponto O coincide com a origem dos eixos;
- o ponto N fica situado no eixo x e tem 3 de abcissa;
- o ponto P fica situado no eixo y e tem 7 de afastamento;
- as arestas perpendiculares à face [MNOP] medem 8 cm;
- o segundo paralelepípedo tem 1,5 cm de altura
- os pontos R (8; 0; 9,5), S (0; 0; 9,5) e T (0; 7; 9,5) são três vértices da sua face de maior cota.

Exame de 2006 – 1ª fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides pentagonais regulares, de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.

Sistema axonométrico:
- o eixo axonométrico y faz ângulos de 131º30' com os eixos axonométricos z e x;
Pirâmides:
- ambas as pirâmides têm por base o pentágono regular [ABCDE], situado num plano horizontal com 7 de cota;
- o centro do pentágono é o ponto M, que tem 4 de abcissa e 5 de afastamento;
- o vértice A fica situado no plano coordenado lateral yz e tem 5 de afastamento;
- o vértice principal V de uma das pirâmides tem 10 de cota;
- o vértice principal V' da outra pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

Exame de 2007 - 1ª fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição das duas pirâmides.

Sistema axonométrico:
– as projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem, entre si, os seguintes ângulos:
(xÔz) = 110° (ângulo formado pelos eixos axonométricos x e z);
(yÔz) = 100° (ângulo formado pelos eixos axonométricos y e z).
Sólido:
– o triângulo [ABV] é uma face lateral comum às duas pirâmides;
– os pontos A e B ficam situados no eixo y e têm, respectivamente, 2 e 6,5 de afastamento;
– o ponto V tem coordenadas positivas;
– a base [ABCD], de uma das pirâmides, pertence ao plano coordenado horizontal xy;
– a base [ABEF], da outra pirâmide, pertence ao plano coordenado yz.

Exame de 2007 - 2ª fase (Código 408)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante da justaposição dos dois prismas.

Sistema axonométrico:
– os eixos axonométricos z e x fazem, entre si, um ângulo de 110°; os eixos axonométricos x e y
fazem, entre si, um ângulo de 120°.
Sólido:
– os pontos A (3; 3; 0) e B (3; 10; 0) são dois vértices da base [ABC] de um dos prismas;
– a segunda base deste prisma tem 0 de abcissa;
– os pontos D (3; 4,5; 0) e E (3; 8,5; 0) são dois vértices da base [DEF] do outro prisma;
– a segunda base deste prisma tem 7 de abcissa;
– ambos os prismas ficam situados para cima do plano horizontal xy.

Exame de 2006 - 1ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema Axonométrico: Isometria.

(Imprima o documento original a partir daqui)

Exame de 2006 - 2ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional representada, em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
- dimetria
- os eixos axonométricos y e z fazem, ambos, ângulos de 130º com o eixo axonométrico x.

(Imprima o documento original a partir daqui)

Exame de 2007 - 2ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica ortogonal da forma tridimensional representada em tamanho natural, em tripla projecção ortogonal, na figura seguinte.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido.

Sistema axonométrico:
– trimetria:
As projecções axonométricas dos eixos x, y e z fazem entre si os seguintes ângulos:
– o ângulo formado pelos eixos x e z é de 105°;
– o ângulo formado pelos eixos y e z é de 120°.

(Imprima o documento original a partir daqui)

Exame de 2008 - 1ª fase (Código 708)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

Sistema axonométrico:
– dimetria: a projecção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.
Prisma quadrangular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– as arestas das bases medem 3 cm;
– uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;
– os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.
Cubo:
– a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;
– os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.

Exame de 2009 - 2ª fase (código 708)

Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.
Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.
Dados
Sistema axonométrico:
– dimetria:
a projecção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.
Prisma quadrangular regular:
– a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
– os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
– a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.
Prisma hexagonal regular:
– as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
– o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.

1- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano de rampa ß, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal do plano ß têm, respectivamente, 3 cm de afastamento e -5 cm de cota;
- o ponto P pertence ao plano frontal de projecção e tem abcissa nula e 4,5 cm de cota.

(Solução)

2- Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano oblíquo ß e o plano de topo ϕ, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal do plano ß  fazem, respectivamente, ângulos de 45° (a.e.) e 60° (a.e.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com -5 cm de abcissa;
- o plano ϕ faz um diedro de 30° (a.e) com o plano horizontal de projecção e intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula.

(Solução)

3- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida pelo plano vertical o num cilindro de revolução, sabendo que:
- as bases do cilindro têm 3 cm de raio e estão contidas em planos frontais (de frente) com 2 cm e 7 cm de afastamento;
- o centro da base de menor afastamento é o ponto O, com 3 cm de abcissa e 4 cm de cota;
- o plano o faz um diedro de 60° (a.e.) com o plano frontal de projecção e intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula.

(Solução)

1- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P (0; 2; 6) ao plano passante ϕ, definido pelo eixo x e pelo ponto A (3; 5; 3).

(Solução)

2- Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos ϕ e β.
Dados
- o plano ϕ é vertical, faz um diedro de 45° com o plano frontal de projecção (com abertura à direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 cm de abcissa;
- os traços do plano β fazem, ambos, ângulos de 60° com o eixo x (o traço horizontal com abertura à esquerda e o frontal com abertura à direita) e são concorrentes num ponto B, com -4 cm de abcissa.
Exame Nacional (2003)

(Solução)

3- Represente, pelas suas projecções, um cone de revolução, situado no 1.° diedro e com a base contida num plano frontal (de frente) com 2 cm de afastamento, sabendo que:
- o centro da base é o ponto O, com -2 cm de abcissa e 4 cm de cota;
- o raio da circunferência da base mede 3 cm;
- o afastamento do vértice do cone é igual a 9 cm.
Represente também um plano projectante horizontal, com abertura para a direita, que passe pelo ponto médio do eixo do cone e produza no sólido uma secção parabólica.
Determine as projecções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida pelo plano no sólido.
^{Baseado em Exame Nacional (1985)}

(Solução)

1- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da distância entre dois planos oblíquos paralelos, α e β, sabendo que:
- o plano α é perpendicular ao β13 e o seu traço horizontal faz um ângulo de 45° (a.d.) com o eixo x, intersectando-o no ponto de abcissa nula;
- o plano β contém o ponto A (2; 2; 3).

(Solução)

2- Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano oblíquo θ e o plano de rampa β, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal do plano θ fazem, respectivamente, ângulos de 40° (a.e.) e 50° (a.e.) com o eixo x e intersectam-se no ponto de abcissa nula;
- os traços horizontal e frontal do plano β têm, respectivamente, 6 cm de afastamento e 4 cm de cota.

(Solução)

3- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida pelo plano de topo 8 num cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1º diedro, sabendo que:
- os raios das bases medem 3 cm;
- uma das bases está contida no plano horizontal de projecção e o seu centro é aponto O, com 4 cm de abcissa e 4 cm de afastamento;
- as geratrizes do cilindro são frontais (de frente) e fazem ângulos de 50° (a.d.) com o plano horizontal de projecção;
- a altura do sólido mede 5,5 cm;
- o plano 8 faz um diedro de 50° (a.e.) com o plano horizontal de projecção e contém o ponto M, com 3 cm de cota, pertencente ao eixo do cilindro.

(Solução)

1- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano α definido pelas rectas h e f, concorrentes no ponto A. Resolva o exercício sem determinar os traços do plano α.

Dados

- o ponto A tem 2 cm de afastamento e 3 cm de cota;

- a recta h é horizontal (de nível) e forma com o plano frontal de projecção um ângulo de 45°, de abertura para a direita;

- a recta f é frontal (de frente) e forma com o plano horizontal de projecção um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda;

- o ponto P tem 3 cm de afastamento e 5 cm de cota, e a sua linha de chamada coincide com a linha de chamada do traço horizontal da recta f.

^{Baseado em Exame Nacional (1981)}

(Solução)

2- Determine os traços do plano de rampa θ nos planos de projecção, sabendo que o plano θ contém o ponto P (0; 2; 3) e faz um diedro de 40° com o plano frontal de projecção. O plano θ atravessa os 2.°, 1.° e 4.° diedros.

(Solução)

3- Determine as projecções e a verdadeira grandeza da figura da secção produzida pelo plano vertical o num cone de revolução, situado no 1º diedro e com a base contida no plano frontal de projecção, sabendo que:
- a base tem 3 cm de raio e o seu centro é o ponto O, com -2 cm de abcissa e 4 cm de cota;
- a altura do cone mede 7 cm;
- o plano o faz um diedro de 45° (a.d) com o plano frontal de projecção e contém o ponto de maior abcissa da circunferência da base do sólido.

(Solução)

1- Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado pelas rectas r e s, sabendo que:
- as rectas são concorrentes no ponto P, situado no eixo x e com abcissa nula;
- a recta r contém o ponto A (-3; 5; 3) e a recta s contém o ponto B (4; 2; 4).

2- Determine graficamente a amplitude do ângulo a formado pelas rectas n e f.
Dados
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 5; 3);
- a recta n é de nível (horizontal) e faz um ângulo de 45° (de abertura para a direita, no 1.° diedro) com o plano frontal de projecção;
- a recta f é de frente' e faz um ângulo de 60° (de abertura para a direita, no 1º diedro) com o plano horizontal de projecção. 
_{Exame Nacional (2002)}

3- Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado pelas rectas concorrentes, r e m, sabendo que:
- a recta r contém os pontos R (2; 2; 5) e S (-3; 5; -1);
- a recta m é fronto-horizontal e tem 2 cm de cota.

4- Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado pelas rectas concorrentes, p e s, sabendo que:
- a recta p é de perfil e contém os pontos A (0; 2; 3) e B do β13 com 5 cm de afastamento;
- a recta s é oblíqua passante, contém o ponto A e intersecta o eixo x num ponto com 5 cm de abcissa.

5- Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado pelas direcções de duas rectas enviesadas f e r, sabendo que:
- a recta f é frontal (de frente) e faz um ângulo de 300 (a.d.) com o plano horizontal de projecção;
- o traço horizontal da recta f é o ponto H, com 2 cm de abcissa e 3 cm de afastamento;
- a recta r contém o ponto R (2; 5; 4) e as suas projecções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 30º (a.e.) e 50º (a.d.) com o eixo x.

6- Determine a verdadeira grandeza do ângulo formado entre a recta oblíqua a e o plano frontal de projecção, sabendo que:
- a recta a está contida no β24 e intersecta o eixo x no ponto com abcissa nula;
- a projecção horizontal da recta a faz um ângulo de 50º (a.e.) com o eixo x.

7- Determine as projecções dos traços da recta de perfil p nos planos de projecção, sabendo que:
- a recta p contém o ponto A (2; 4; 2) e faz um ângulo de 60º com o plano frontal de projecção;
- o traço frontal da recta p tem cota positiva.

8- Determine os traços do plano de rampa a nos planos de projecção, sabendo que o plano a contém o ponto P (0; 2; 3) e faz um diedro de 40° com o plano frontal de projecção. O plano a atravessa os 2º, 1º e 4° diedros.

9- Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano oblíquo θ e o plano de topo φ, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal do plano θ fazem, respectivamente, ângulos de 45° (a.e.) e 60° (a.e.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com -5 cm de abcissa;
- o plano φ faz um diedro de 30° (a.e.) com o plano horizontal de projecção e intersecta o eixo x no ponto de abcissa nula.

10- Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos θ e β.
Dados
- o plano θ é vertical, faz um diedro de 45° com o plano frontal de projecção (com abertura à direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 cm de abcissa;
- os traços do plano β fazem, ambos, ângulo de 60° com o eixo x (o traço horizontal com abertura à esquerda e o frontal com abertura à direita) e são concorrentes num ponto B, com -4 cm de abcissa.
Exame Nacional (2003)

11- Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre os planos θ e φ sabendo que:
- o plano θ é definido pelas rectas f e h, concorrentes no ponto A (-4; 3; 2);
- a recta f é frontal (de frente) e faz um ângulo de 30° (a.e.) com o plano horizontal de projecção;
- a recta h é horizontal (de nível) e faz um ângulo de 30° (a.d.) com o plano frontal de projecção;
- o plano φ é de perfil e tem 2 cm de abcissa.

12- Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano oblíquo φ e o plano de rampa β, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal do plano n fazem, respectivamente, ângulos de 40° (a.e.) e 50° (a.e.) com o eixo x e intersectam-se no ponto de abcissa nula;
- os traços horizontal e frontal do plano p têm, respectivamente, 6 cm de afastamento e 4 cm de cota.

13- Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano oblíquo β e o plano passante α, sabendo que:
- os traços horizontal e frontal do plano β fazem, respectivamente, ângulos de 60° (a.d.) e 45° (a.d.) com o eixo x e são concorrentes num ponto com 7 cm de abcissa;
- o plano α é definido pelo eixo x e pelo ponto A (0; 3; 2).

14- Represente o plano de rampa α, sabendo que o seu traço horizontal tem 6 cm de afastamento e o seu traço frontal tem 3 cm de cota. Determine a verdadeira grandeza do diedro formado entre o plano α e β13.

1 - Determine os traços horizontal e frontal do plano β paralelo ao plano oblíquo α, sabendo que:
- o plano α é definido pela recta frontal (de frente) f e pelo ponto A (0; 3; 2);
- a recta f contém o ponto B (-4; 4; 4) e faz um ângulo de 45° (a.e.) com o plano horizontal de projecção; -os traços do plano β são concorrentes no ponto C, com 2 cm de abcissa.

2 - Determine graficamente a distância, d, entre o ponto P e a recta de perfil p.
Dados
- o ponto P tem 2 cm de abcissa, 2 cm de afastamento e 3,5 cm de cota;
- a recta de perfil p é definida pelos pontos A (0; 4; 3,5) e B (0; 6; 2).
Baseado em Exame Nacional (2006 - programa antigo)

3 - Desenhe as projecções de um prisma hexagonal regular, situado no 1º diedro e com as bases contidas em planos de topo, sabendo que:
- o centro de uma base, [ABCDEF], é o ponto O (4; 5; 4);
- o vértice A pertence ao β1,3 e tem 2,5 cm de afastamento;
- as arestas laterais do prisma fazem ângulos de 45° (a.d.) com o plano horizontal de projecção e medem 7 cm.

1- Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelo plano oblíquo alfa com o plano frontal de projecção.
- o plano alfa é definido pelo ponto P (0; -4; 2) e pela recta de nível (horizontal) n
- a recta de nível n contém o ponto A (3; 3; 4) e faz um ângulo de 45º (abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção. 

2-  Determine graficamente a amplitude do ângulo alfa, formado pelas rectas n e f.
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 5; 3)
- a recta n é de nível (horizontal) e faz um ângulo de 45º (de abertura para a direita) com o plano frontal de projecção
- a recta f é de frente (frontal) e faz um ângulo de 60º (de abertura para a direita) com o plano horizontal de projecção.

3- Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelo plano oblíquo alfa com o plano horizontal de projecção.
- o plano alfa intersecta o eixo x (Linha de Terra) no ponto X, de abcissa nula;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, com o eixo x, respectivamente, ângulos de 30º e de 45º (ambos com abertura para a esquerda).

4- Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos alfa e beta.
- o plano alfa é vertical, faz um diedro de 45º com o plano frontal de projecção (com abertura a direita) e intersecta o eixo x num ponto A, com 4 de abcissa;
- os traços do plano beta fazem, ambos, ângulos de 60º com o eixo x (o horizontal com abertura à esquerda e o frontal com abertura à direita) e são concorrentes num ponto B, com - 4 de abcissa.

5- Determine graficamente a amplitude do ângulo alfa, formado pelas rectas n e p.
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; 6; 5);
- a recta p é de perfil e intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto F, com 8 de cota;
- a recta n é de nível (horizontal) e faz um ângulo de 45º (de abertura para a esquerda) com o plano frontal de projecção

6- Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos alfa e beta.
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem, respectivamente, ângulos de 45º (de abertura à esquerda) e 30º (de abertura à direita) com o eixo x e intersectam-se num ponto com 4 de abcissa;
- os traços do plano beta intersectam-se num ponto com - 4 de abcissa;
- o traço horizontal do plano beta é paralelo ao traço horizontal do plano alfa, e o seu traço frontal é perpendicular ao traço frontal do plano alfa.

7- Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pelas rectas f e b.
- as rectas são concorrentes no ponto P (0; -4; 4)
- a recta f é frontal e faz um ângulo de 20º (com abertura para a direita) com o Plano Horizontal de Projecção
- a recta b está contida no beta24, e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (abertura para a direita) com o eixo x

8- Determine graficamente a amplitude do ângulo formado pela recta r com o plano obliquo alfa.
- a recta r é paralela ao eixo x e tem 4 de afastamento e 6 de cota;
- os traços, horizontal e frontal, do plano alfa fazem com o eixo x, respectivamente, ângulos de 45º e de 60º (ambos de abertura para a direita).

9- Determine graficamente a amplitude, alfa, do ângulo das duas rectas enviesadas n e f.
- a recta n é horizontal, intersecta o Plano Frontal de Projecção no ponto Fn (-4; 0; 4) e faz, com este, um ângulo de 60º de abertura para a direita
- a recta f é frontal, intersecta o Plano Horizontal de Projecção no ponto Hf (4; 4; 0) e faz, com este, um ângulo de 60º de abertura para a esquerda

10- Determine graficamente a amplitude do diedro formado pelos planos oblíquos alfa e beta.
- os planos intersectam-se na recta de perfil p, cujos traços nos planos de projecção são os pontos H (– 3; 6; 0) e F, com 3 de cota;
- os traços do plano alfa intersectam o eixo x no ponto X, de abcissa nula;
- os traços do plano beta intersectam o eixo x no ponto Y, com 9 de abcissa.

11- Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projecção.
- o plano θ é definido pela recta d, uma recta de maior declive que contém o ponto P (0; 4; 2);
- a projecção horizontal da recta d faz um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.

12- Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s.
Dados
– a recta r é paralela ao plano bissector dos diedros pares (β2,4);
– a projecção frontal da recta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
– o ponto F, traço frontal da recta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
– a recta s é concorrente com a recta r no ponto P, com 3 de cota;
– as projecções da recta s são perpendiculares às projecções homónimas da recta r.

Fica aqui a ficha de trabalho de preparação para o Teste a realizar na próxima semana. Este exercício de trabalho é também a matriz da prova. Bom trabalho. (Ficha 12-2009)

Solução Exercício 01 (Filipa Russel)
Solução Exercício 03 (Filipa Russel)
Solução Exercício 04 (Filipa Russel)
Solução Exercício 07 (Filipa Russel)

Sólidos em oblíquos - nº2 - Desenhe as projecções de uma pirâmide pentagonal regular, situada no 1º Diedro, sendo dados:
- a base da pirâmide é o pentágono [ABCDE], contido num plano oblíquo θ;
- os traços de θ fazem ângulos de 60° (a.e.) e 30° (a.e.) com o eixo X, respectivamente o traço horizontal e o traço frontal;
- O (4; 2) é o centro da circunferência circunscrita à base, que é tangente ao Plano Horizontal de Projecção;
- o vértice A, do pentágono, tem cota nula;
- a pirâmide tem 8 cm de altura. (Solução)

Sólidos em oblíquos - nº3 - Desenhe as projecções de uma pirâmide triangular regular situada no 1º Diedro e com a base contida num plano oblíquo α. A ( 0; 0; 3) e B ( 3; 4; 0) são dois vértices da base. O plano α é ortogonal ao β24. O vértice da pirâmide em cota nula. (Solução)

Sólidos em oblíquos - nº4 - É dado um plano oblíquo π, ortogonal ao β24, cujo traço frontal faz um ângulo de 60° (a.e.) com o eixo X.
Sobre o plano existe uma pirâmide triangular regular, situada no 1º Diedro e assente, pela base, no plano π, cuja base é o triângulo [ABC] nele contido no plano.
O ponto O (4; 4) é o centro de uma circunferência com 3,5 cm de raio, onde se inscreve o triângulo
[ABC]. O lado [AB], do triângulo, é horizontal (de nível).
O vértice C é o vértice e menor cota do triângulo e o vértice A é o seu vértice de maior afastamento.
O vértice da pirâmide tem afastamento nulo. (Solução)

Sólidos em oblíquos - nº5 - É dada uma recta r, oblíqua, definida por O ( 2; 3) e A ( 0; 5), sendo OoAo =2 cm e estando O à esquerda de A.
A recta r é uma das rectas de maior inclinação de um plano obliquo φ.
O ponto A é um dos vértices de um quadrado [ABCD], contido em φ e O é o centro da circunferência
circunscrita ao quadrado.
Representa um prisma quadrangular regular com base [ABCD] com 5 cm de altura e situado no 1º Diedro. (Solução)

Sólidos em oblíquos - nº6 - Desenhe as projecções de um prisma triangular regular situado no 1º Diedro. A base inferior do prisma é o triângulo equilátero [ABC], contido num plano oblíquo β. Os traços de β. fazem, com o eixo X, ângulos de 30º (a.e.) e 45° (a.d.), respectivamente o traço frontal e o traço horizontal. A (4; 0) e B ( 3; 3) são dois vértices do triângulo [ABC]. O ponto E pertence ao plano frontal de projecção. (Solução)

Sólidos em Rampa - nº1 - São dados dois pontos, R (0; 4) e T (5; 0), sendo ToRo= 2 cm e estando T à esquerda de R. R e T são dois vértices opostos de um quadrado [RSTU} contido num plano de rampa ϕ. Sabendo que o quadrado é a base de uma pirâmide quadrangular regular situada no 1º Diedro e com 8 cm de altura, desenhe as projecções do sólido. (Solução)

Sólidos em Rampa - nº5 - É dado um quadrado [ABCD], contido num plano de rampa β. A (0; 3; 2) e B (4; 5; 0) são dois vértices consecutivos do quadrado. Sabendo que o quadrado é a base inferior de um prisma quadrangular regular com 7 cm de altura, desenhe as projecções do sólido. (Solução)

Sólidos em Passante - nº2 - É dado um plano passante φ, definido pelo eixo X e por um ponto O ( 4; 2). O ponto O é o centro
da uma circunferência com 4 cm de raio, na qual se inscreve um quadrado [ABCD]. O quadrado
[ABCD] está contido no plano e é a base de uma pirâmide quadrangular regular, situada no espaço
do 1º Diedro. O lado [AB] do quadrado faz um ângulo de 30° com o eixo X, sendo que A é o vértice
de menor afastamento do quadrado e se situa à direita de B. O vértice da pirâmide tem afastamento
nulo.
Desenhe as projecções da pirâmide. (solução)

1- Determine as projecções de uma recta horizontal h, paralela ao plano oblíquo β, sabendo que:
- a recta h contém o ponto P (0; 5; 3);
- o plano β é definido pela recta frontal f e pelo ponto A (-3; 2; 3);
- a recta f contém o ponto B (-7; 5; -5);
- a projecção frontal da recta f faz um ângulo de 45º com o eixo x, de abertura para a esquerda. (solução)

2- Determine os traços, nos planos de projecção, de um plano α, perpendicular à recta r, sabendo que:
- a recta r contém o ponto R (-2; 1,5; 5) e as suas projecções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 30º (ae) e 45º (ae) com x;
- o plano α contém o ponto P (0; 5; 2). (solução)

3- Desenhe as projecções de um quadrado [ABCD] situado no 1º diedro, sabendo:
- o quadrado está contido num plano de rampa β;
- os pontos A (1; 1; 7) e C (-1; 4; 2) definem uma das diagonais do quadrado. (solução)

4- Determina as projecções e a verdadeira grandeza da distância do ponto S à recta de oblíqua r, sabendo que:
- S (-2; 3; 2);
- a recta r é passante e intersecta o eixo X num ponto com 5 de abcissa;
- as projecções horizontal e frontal da recta r fazem, respectivamente, ângulos de 45º (ad) e 50º (ad) com X. (solução)

1- É dada uma recta p de perfil. A recta p contém o ponto A (0; 2; 4) e é passante. Determina os traços de um plano β ortogonal à recta p que contém o ponto p (-3; 3; 3).

2- São dados um plano oblíquo β e um ponto M (-1; 2; 4). O plano β intersecta o eixo do X num ponto com 2 cm de abcissa, tem os seus traços coincidentes e o seu traço frontal faz um ângulo de 50º (ae) com X. Determine os traços de um plano ρ paralelo a β e que contém M.

3- É dado um plano oblíquo θ e um ponto P (2; 4; 2). O plano θ intersecta o eixo do X num ponto com 5 de abcissa. Os traços frontal e horizontal fazem, com X respectivamente, ângulos de 25º (ad) e 40º (ad). Determine os traços de um plano φ perpendicular a θ que contém P e cujo traço frontal faz 65º (ad) com X.

4- Desenha as projecções de um quadrado [ABCD], pertencente a um plano oblíquo α.
- o centro do quadrado é o ponto O (-6; 3,5; 3);
- os traços do plano fazem, ambos, ângulos de 45º (ad) com o eixo X;
- uma das diagonais é horizontal;
- o vértice A pertence ao traço horizontal do plano.

1- Determine os traços, nos planos de projecção, do plano β perpendicular à recta p, sabendo que:
- a recta p é de perfil e o seu traço horizontal é o ponto H, com 2 de abcissa e 1,5 cm de afastamento;
- a recta p intersecta o plano β no ponto I, com 4cm de afastamento e 2cm de cota. (Solução)

2- Determine os traços de um plano α paralelo à recta r, sabendo que:
- a recta r contém os pontos A (5; -4; 4) e B (1; 5; -5);
- o plano α contém os pontos C (1; 0; 0) e D (-4; 2; 4). (Solução)

3- Determine os traços de um plano de rampa ρ, sabendo que:
- o plano ρ é perpendicular ao plano oblíquo α;
- o plano α contém a recta r e o seu traço frontal, fα, faz 50º (ad) com o eixo X;
- a recta r contém o ponto P (2; 2; 3) e as suas projecções horizontal e frontal fazem respectivamente 50º (ad) e 30º (ad) com X;
- o plano ρ contém o ponto A (-3; 2; -2). (Solução)

4- Represente o triângulo equilátero [ABC] situado no 1º diedro.
Dados:
- o triângulo está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (4; 3; 2);
- um dos seus vértices é o ponto A (6; 1; 4);
- o triângulo está contido no plano oblíquo Ф, cujo traço horizontal faz 55º com o eixo do X (ae). (Solução)

Distâncias 

1- É dado um plano vertical niú, definido pelos seus traços, e um ponto P (2; 5; 2). O plano niú intersecta o eixo X num ponto com -1 de abcissa e faz um diedro de 45º (ad) com o plano frontal de projecção. Determine as projecções e a VG da distância de P a niú.  

2-  Determine as projecções e a VG da distância do ponto P (-3; 5; 2) a uma recta r, oblíqua. A recta r contém o ponto A (0; 3; 2) e a sua projecção horizontal faz um ângulo de 30º (ae) com o eixo X. O traço frontal da recta tem 4 cm de afastamento.

3- São dados um plano ró, de rampa, e um ponto P (5; 3). Os traços frontal e horizontal do plano têm, respectivamente, 5cm de cota e 4 de afastamento. Determine as projecções e a VG da distância de P a ró recorrendo ao método do rebatimento.

4- São dados um plano alfa e um ponto P (-3; 0; 6). Os traços de alfa são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e fazem com X 45º (ae) e 30º (ad) respectivamente traço frontal e horizontal. Determine a VG da distância P a alfa. 

Paralelismo, perpendicularidade e rebatimentos 

1- É dado um plano oblíquo teta, ortogonal ao B₁₃ cujo traço horizontal faz 45º (ad) com o eixo do X.
É dado, também, um triângulo [PQR], contido no plano teta, sendo P (3; 5) e Q (1; 2). O lado [QR] é horizontal e mede 5 cm. Determine a verdadeira grandeza do triângulo.  (solução)

2- É dado um triângulo [PQR], contido num plano de rampa ró. Sobre o triângulo sabe-se que P (0; 1; 4), Q (-2; 4; 0) e que R tem 2 de abcissa e 3 de afastamento. Determine a verdadeira grandeza do triângulo.  (solução)
 

3- É dado um plano alfa e um ponto P ( 2; 4; 2). O plano alfa tem o seu ponto K com 5 cm de abcissa. Os traços frontal e horizontal do plano fazem 25º (ad) e 40º (ad), respectivamente. Determine os traços de um plano delta, perpendicular a alfa que contém o ponto P. O traço frontal do plano delta faz 65º (ad) com o eixo do X. (solução)

4- São dados uma recta f (frontal) e um ponto P (2; 2; 3). A recta f faz 60º (ae) com o plano horizontal de projecção e o seu traço horizontal -4 de abcissa e 3 cm de afastamento. Determine os traços do plano alfa paralelo à recta f que passa por P. O plano alfa é perpendicular a B₂₄. (solução)